XVI OLIMPÍADA MATEMÀTICA

FASE PROVINCIAL VALÈNCIA

OLIVA, 7 DE MAIG DE 2005 – PROVA DE VELOCITAT

NIVELL B (2on. Cicle ESO)

1. EL BALÓ DE FUTBOL

Un políedre en forma de baló de futbol te 32 cares: 20 són hexàgons regulars i 12 són pentàgons regulars. Quants vèrtex té el políedre?

2. EL RECTANGLE OMBREJAT

En la figura: K, L, M i N són punts mitjos dels costats del rectangle ABCD. En la mateixa forma O, P, R i S són punts mitjos dels costats del quadrilàter KLMN. Quina fracció del rectangle ABCD esta ombrejada?

3. LA MULTIPLICACIÓ LLARGA

Quina serà l'última xifra del producte dels primers 1000 impars?

4. EL LLIBRE DE MANUELITA

Manuelita va numerar les pàgines d'un llibre de 100 fulls, començant amb el número 1. Si Pedro li va arrancar 25 fulls, i després va sumar els 50 nombres escrits en ells, és possible que la suma dels nombres de les 25 fulls arrancades siga 2004? Justifica la teua resposta.

5. LA SÈRIE MÀGICA

Construeix el nombre més gran amb les xifres 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4 de tal forma que els dos “uns” estiguen separats per una xifra, els “dos” per dos xifres, els “tres” per tres i els “quatres” per quatre xifres.

Per exemple: els nombres

11223344, 12341234,…

6. HOTEL INTERNACIONAL

L'àrea del quadrat ombrejat és una tercera part de l'àrea del

quadrat gran. Quina és la raó x/y?

7. FITXES

Luis, Adrián i Ernesto van prendre 13 dolços d'una taula. Al final, Luis va dir: vaig prendre 2 dolços més que Adrián; Adrián va dir: vaig prendre la meitat de dolços que Luis i 5 menys que Ernesto; i finalment Ernesto va dir: vaig prendre un nombre parell de dolços. Si sabem que al màxim un d'ells mentia. Qui era el mentider?

8. EL CUB

Quin és el resultat de 99 – 97 + 95 – 93 +... + 3 – 1?

9. SUMANDS.

En esta escala hi ha 9 lletres que representen els dígits de l’1 al 9. Podries quin dígit representa la lletra G? Podries resoldre la resta de correspondències? Vos donem quatre condicions que deuen complir-se per a resoldre el joc. Estes condicions també vos serviran de pista.

1. Cadascun dels dígits està representat per una lletra diferent.

2. Deuen aparèixer tots els dígits.

3. A+B+C, C+D+E, E+F+G i G+H+I són iguals a 13.

4. C, E I G s’empren per dues sumes ( horitzontal i vertical)

10. LA XIFRA PERDUDA

Saps quin es el nombre que falta a la fila inferior? Per a trobar-ho deus trobar la seqüència lògica de totes les files.